偏微分方程求解指南

概述

本章介绍偏微分方程求解页的完整工作流，适用于以下场景：

已进入偏微分方程求解页，但不清楚各区域的先后顺序。
想完成一次从”选方程”到”提交任务”再到”查看结果”的完整闭环。
打算编辑自定义方程，或借助 AI 对话理解参数和任务状态。

覆盖内容：方程选择、新建自定义方程、编辑方程、参数配置、任务提交、任务监控、查看任务详情、AI 对话、 支持PDEs。

页面概览

偏微分方程求解页是一个多区域工作台，信息密度较高。

偏微分方程求解工作台标注图

图中序号对应如下：

方程树区域：按分组浏览并选择目标方程。
中间主区域左侧：展示公式、README 与方程概览等。
参数设置区：位于中间主区域右侧，按分组配置求解参数。
底部任务监控区：查看任务信息、量子电路和结果。
AI 对话区：独立右侧面板，就方程、参数或任务进行辅助提问。

左侧全局导航栏底部有「任务管理」入口，点击可展开查看所有历史提交任务。

如果方程数据正在加载，页面会显示加载提示；如果方程数据加载失败，页面会显示错误信息并提供重试按钮。

可以把页面简单理解为四块：

左侧：决定”跑什么方程”。
中间：查看方程内容（左半）并配置求解参数（右半）。
右侧：通过 AI 对话辅助理解和操作。
底部：查看”跑得怎么样、结果是什么”。

选择方程

左侧区域用于选择方程：

页面以分组形式展示方程，进入页面时默认选中第一个分组下的第一个方程，并自动加载其详情和参数配置。
点击分组可展开或收起方程列表。
点击具体方程会切换到该方程，页面加载对应的详情和参数配置。

方程列表顶部提供 搜索框，输入关键词可快速过滤方程，方便在方程较多时快速定位目标。

如果方程数据未成功加载，建议先使用页面提供的重试按钮，而不是重复刷新整个浏览器。

新建自定义方程

如果内置方程列表中没有所需方程，可点击方程列表标题栏右侧的 + 按钮，打开新建方程弹窗创建自定义方程。

新建方程弹窗

弹窗包含三个字段：

方程名称：显示在界面上的可读名称，用于在方程列表中识别该方程。
方程标识：程序内部使用的唯一键，仅允许字母、数字和下划线。
选择分组：将方程归入已有分组；点击下拉后可选择已有分组，或点击底部的 新增分组 创建新分类。

分组选择下拉

填写完成后点击创建按钮即可完成创建，新方程会出现在方程列表对应分组下。

注意：方程标识和分组名称均不能与已有内容重复，否则创建会失败。

删除自定义方程 / 分组：鼠标悬停在自定义方程或自定义分组上时，右侧会出现删除按钮，点击后弹窗确认即可删除。系统内置方程和内置分组不支持删除。

适合新建自定义方程的场景：

现有内置方程都不满足需求。
需要长期保留一套自己定义的方程配置，而不是临时改动一次参数。

编辑方程

进入方程编辑状态有两种方式：

自动进入：新建自定义方程后，系统自动进入编辑模式。
手动进入：点击左侧树中的方程，再点击参数设置面板右上角的设置按钮。

进入编辑模式后，右侧参数面板会自动收起，为编辑区域腾出更大空间。

注意：系统内置方程仅支持修改算法文件；自定义方程支持修改 JSON 方程配置文件（方程定义、边界条件、初始条件等）。

自定义方程编辑器标注图

图中序号对应如下：

内容标签区：切换当前查看或编辑的内容，例如公式、README、算法文件或 JSON 配置文件。
操作按钮区：提供代码 / 预览切换、退出编辑和保存功能。
编辑内容区：展示当前标签对应的编辑内容；编辑 JSON 时，左侧通常是分组导航，右侧是当前分组的编辑表单。

编辑完成后点击右上角的保存即可生效，修改会同步更新到方程参数和公式展示中。点击 X按钮关闭则不会保存，下次打开时将恢复为上次保存的内容。

当当前标签是自定义方程的 .json 配置文件时，右上角还会显示 代码 / 预览 切换按钮。代码 模式用于直接编辑 JSON；预览 模式用于按结构化表单查看和修改配置内容。

JSON 代码编辑与预览切换标注图

图中序号对应如下：

代码 / 预览切换区：切换 JSON 的代码模式与预览模式，保存、关闭按钮也位于此处。
JSON 代码编辑区：直接编辑 JSON 配置内容。

在 代码 模式下，可以把 README 中的 JSON 示例复制到编辑器再按需修改。注意事项：

优先检查 name、方程类型及各分组字段；若沿用示例中的 name 直接保存，当前自定义方程名称会被一并覆盖。
JSON 格式错误时，保存按钮会置灰，点击预览也会提示错误并停留在代码模式，请先修正后再继续操作。

使用编辑器时建议把”编辑方程”和”调参数”分开理解：

编辑方程：修改方程定义本身、边界条件、初始条件或算法文件。
调参数：保留当前方程定义不变，只调整这一次运行所需的输入值。

如果只是想做一次试跑，通常先调参数即可；只有方程定义本身需要变化时，再进入编辑器。

配置参数

选中方程后，右侧会显示参数配置区域。

参数设置面板标注图

图中序号对应如下：

顶部信息栏：显示当前选中方程名称，右上角提供设置切换和保存操作。
参数配置区：按分组展开填写当前方程的求解参数。

参数区顶部右上角提供两个常用按钮：

设置按钮：切换到当前方程的编辑视图。内置方程进入算法文件编辑；自定义方程进入 JSON 方程配置编辑。
保存按钮：保存当前已选中方程在参数区内的修改内容。若未保存就切换到其他方程，当前修改会丢失；保存成功后，后续重新打开这个方程时会继续使用保存后的参数。

推荐操作顺序：

先选定目标方程。
按页面右侧参数区逐项检查默认值。
根据任务需要修改参数。
如页面出现校验提示，请先修正后再继续运行；未修正时将无法提交，提交按钮也会置灰。

如果希望下次打开同一个方程时继续沿用当前配置，记得先保存，再运行。

提交任务

页面右上角提供运行入口。流程如下：

提交任务弹窗

先完成方程选择和参数配置。
点击运行入口。
在弹窗中填写任务名称。
提交任务。

建议将任务名称写成能区分用途的形式，例如包含方程名、实验目标或日期，后续在任务详情和结果列表中会更容易回看。

监控任务

页面底部的任务监控区域关联当前任务或当前方程的任务信息，用于查看执行状态与输出内容。

任务监控面板

任务信息：显示当前任务的基础信息和运行日志，便于查看任务状态、排查报错或确认执行进度。
量子电路：展示当前任务生成的量子电路图。
结果：展示任务运行结果；结果图和指标数据都会在这里查看。

当结果标签页显示结果图时，将鼠标移到结果展示区，右侧会出现悬浮操作按钮：

下载按钮：下载当前结果图或结果文件。
全屏按钮：进入全屏查看模式，便于放大查看细节。

结果展示区悬浮操作标注图

图中序号对应如下：

下载按钮：下载当前结果图或结果文件。
全屏按钮：进入全屏查看模式。

进入全屏查看模式后，右上角提供关闭按钮；底部工具栏支持放大、缩小、查看当前缩放比例，以及下载当前结果内容。

结果全屏查看标注图

图中序号对应如下：

关闭按钮：退出全屏查看，返回结果展示区。
底部工具栏：支持放大、缩小、查看当前缩放比例，以及下载当前结果内容。

监控区域默认显示最近一次提交任务的内容，并随当前活动任务变化；切换方程或重新提交任务时，底部内容也会同步更新。

首次使用偏微分方程求解时，可先完成一次最简单的方程选择和任务提交，再观察底部监控区域的变化。

查看任务详情

点击左侧底部的 任务管理 入口，可以打开任务详情弹窗，查看所有历史提交任务及其运行结果。

任务详情弹窗标注图

图中序号对应如下：

搜索与筛选栏：支持按任务名称搜索或按状态筛选任务。
任务列表：展示所有历史提交任务，点击可切换查看详情。
右侧详情区：展示所选任务的状态、参数配置与运行结果。

当任务详情右侧详情区展示结果图时，将鼠标移到结果展示区，右侧会出现悬浮操作按钮。

任务详情结果悬浮操作标注图

图中序号对应如下：

下载按钮：下载当前结果图或结果文件。
全屏按钮：进入全屏查看模式，便于放大查看细节。

详情区右上角的编辑按钮，可将该任务的参数回填到右侧参数配置区，方便在原参数基础上修改后重新提交。

适合使用任务详情的场景：

需要回看历史任务，而不是只看当前这一轮结果。
想比较不同任务的参数差异和输出结果。
想基于某次历史任务继续修改后重新提交。

AI 对话

PDE 求解页右侧为独立的 AI 对话面板，可随时就当前方程的物理含义、参数配置或任务结果进行提问，无需切换页面。

PDE 场景下常见的提问：方程的适用场景与参数含义、任务失败的原因与排查思路、结果如何解读以及下一轮如何调参。

AI 对话的详细使用方法（入口、模式、图片附件、模型设置等）请参阅 AI 对话指南。

建议

偏微分方程求解页区域较多，首次进入时建议按”左侧选择、右侧配置、底部查看任务”的顺序浏览。
第一次使用先完成一次最基础的方程选择和任务提交，再逐步熟悉不同参数区域。
只是想确认页面能正常工作时，不必一开始就编辑自定义方程；先完成一次最小任务闭环更重要。

支持的PDEs

热方程

1D 前向热方程

\frac{\partial u}{\partial t} = a \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + f (x)

它描述了热量在介质中从高温向低温传导的过程，反映了能量通过分子热运动的扩散规律。扩散系数 $a$ 越大，热传导越快。它适用于金属热处理中的温度场计算、建筑墙体的保温设计以及半导体芯片的热损耗分析等场景，并可预测物体在加热或冷却过程中的温度分布变化。

1D 后向热方程

\frac{\partial u}{\partial t} = - a \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + f (x)

它描述了数学上时间反演的热传导过程，代表能量的逆扩散。扩散系数 $a$ 越大，热传导越快。它适用于理论研究和反问题中的场景，例如：重建热处理过程中的初始温度场、反算建筑保温分析中的热历史，以及解决半导体热管理中的某些反问题。

1D 变系数前向热方程

\frac{\partial u}{\partial t} = a (x) \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + f (x), a (x) = 1 + cos (2 π x / L)

它描述了热量在介质中从高温向低温传导的过程，反映了能量通过分子热运动的扩散规律，其中扩散系数 $a (x)$ 越大，局部热传导越快。它适用于金属热处理中的温度场计算、建筑墙体的保温设计以及半导体芯片的热损耗分析等场景，并可预测物体在加热或冷却过程中的温度分布变化，同时考虑了材料热导率的空间或时间变化。

2D 前向热方程

\frac{\partial u}{\partial t} = a_{1} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + a_{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + f (x, y)

它将热传导扩展到二维平面，考虑了沿 $x$ 和 $y$ 方向的温度梯度。典型应用包括薄板、芯片/PCB 热分析以及地壳热流建模。

2D 后向热方程

\frac{\partial u}{\partial t} = - a_{1} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + - a_{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + f (x, y)

它将热传导扩展到二维平面，考虑了沿 $x$ 和 $y$ 方向的温度梯度。典型应用包括重建薄板中的初始温度场、芯片/PCB 热分析以及地壳热流建模。

对流方程

1D 对流方程

\frac{\partial u}{\partial t} = a \frac{\partial u}{\partial x}

它描述了物质（如污染物和水蒸气）随流体运动的输运过程。速度 $a$ 决定了物理量的迁移方向和速率。在环境科学中，它可以模拟河流污染物随水流的扩散路径；在气象学中，用于分析大气对流层中水汽的输运；在石油工程中，则描述了原油在储层中的流动规律。

Black-Scholes 方程

1D Black-Scholes 方程

\frac{\partial u}{\partial t} + a (r - \frac{σ ^{2}}{2}) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{σ ^{2}}{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - r u = 0

欧式期权定价的核心模型。该偏微分方程使用无风险利率 $r$ 和波动率 $σ$ ，控制期权价值 $u (t, x)$ （其中 $x$ 通常为对数价格）随时间的变化。在我们的框架中，因子 $a$ 允许进行可选的缩放。

上述对数价格形式是由经典形式通过 $S = e^{x}$ 且 $u (t, x) = V (t, e^{x})$ 变换得到的。经典（价格-空间）PDE如下：

\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} σ^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} V}{\partial S ^{2}} + r S \frac{\partial V}{\partial S} - r V = 0

弹性波方程

1D 弹性波方程

ρ \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = (λ + 2 μ) \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + f (x)

2D 弹性波方程

ρ \frac{\partial ^{2} u ( x )}{\partial t ^{2}} = (λ + μ) \nabla (\nabla \cdot u (x)) + μ \nabla^{2} u (x) + f (x, y) v_{i} = \frac{\partial u _{i}}{\partial t}, σ_{ij} = λ δ_{ij} (\nabla \cdot u) + μ (\frac{\partial u _{i}}{\partial x _{j}} + \frac{\partial u _{j}}{\partial x _{i}})

这两个方程以不同维度描述了机械波（如地震波、超声波）在弹性介质中的传播。Lamé系数 $λ$ 和 $μ$ 以及介质密度 $ρ$ 共同决定了波速。在地震学中，它被用于反演地球内部结构；在无损检测中，超声波被用于探测金属构件中的裂纹；在石油勘探中，地震波数据被用于定位地下油气藏。

Burgers方程

1D Burgers 方程

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = ν \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}

它描述了在非线性对流和粘性扩散共同作用下的波动行为。它是流体力学中模拟激波形成的基本模型。参数 $ν$ 表示运动粘性系数，控制扩散效应的强度。当 $ν = 0$ 时，方程退化为无粘 Burgers 方程，解中可能出现间断的激波。当 $ν > 0$ 时，粘性效应使得激波转变为光滑的行波解。

2D Burgers 方程

⎩ ⎨ ⎧ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = 0

二维无粘 Burgers 方程是流体动力学中的一个基本模型，用于描述速度场的对流以及激波的形成。由于其非线性结构，即使初始条件光滑，也会在有限时间内产生间断（激波）。该算法将速度场 $(u, v)$ 视为守恒量，并应用水平集方法在高维空间中对动力学行为进行线性化。

交通流方程

1D 交通流方程

\frac{\partial u}{\partial t} + f^{'} (u) \frac{\partial u}{\partial x} = 0

对于经典交通流模型，通量函数通常为 $f (u) = u (1 - u)$ 。

该方程来源于经典的 Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型，该模型利用标量守恒律来描述车辆密度的演化以及交通拥堵的出现。由于 $f (u)$ 的非线性，特征线可能相交，即使初始数据光滑，也会在有限时间内形成激波。通过将水平集预处理方法与薛定谔化相结合，这种复杂的非线性现象可以转化为适用于量子模拟的线性幺正演化。

薛定谔方程

2D 时变薛定谔方程

i \frac{\partial}{\partial t} ψ (t, x, y) = (- \frac{\nabla ^{2}}{2} + V (x, y)) ψ (t, x, y)

它描述了平面上波函数的量子力学演化。这是一个基本模型，用于模拟二维材料中的电子动力学以及量子计算中的量子点。势能 $V (x, y)$ 定义了外力，例如势垒或势阱。当势能为零（ $V = 0$ ）时，波包自由扩散，而强势能则会导致局域化的驻波本征态。动能项（涉及质量 $m$ ）与势能 $V$ 的相对强度决定了行为是波动性的、粒子性的，还是会出现量子隧穿效应。

亥姆霍兹方程

1D 亥姆霍兹方程

- Δ u - k^{2} u = f, x \in (0, L)

它描述了一维系统中时间谐波的传播。它是分析稳态波动现象的基本模型，例如声学腔体中的共振、电磁波导以及量子力学束缚态。参数 $k$ 表示波数，它与简谐振动的频率成正比，并决定了波的空间尺度。当 $k = 0$ 时，该方程简化为泊松方程。

多尺度方程

1D 多尺度输运方程

ϵ \partial_{t} f (v) + v \cdot \nabla_{x} f (v) = \frac{1}{ϵ} (\frac{σ _{S}}{S} \int_{Ω} f (v^{'}) d v^{'} - σ f (v)) + ϵ Q

它描述了在一维几何结构中、多尺度机制下粒子的动力学行为。它是模拟屏蔽材料中的辐射输运、核反应堆中的中子扩散以及光学厚介质中的热传递的基本模型。尺度参数 $ϵ$ 表示平均自由程与系统特征长度之比，用于区分碰撞主导（ $ϵ ≪ 1$ ）和自由流主导（ $ϵ ≫ 1$ ）两种机制。当 $ϵ \to 0$ 时，该方程渐近简化为扩散方程。源项 $Q$ 决定了解的行为是扩散性的、弹道性的，还是介于两者之间的过渡状态。

1D 多尺度椭圆方程

- \frac{d}{d x} (A_{ϵ} (x) \frac{d}{d x} u_{ϵ} (x)) = 1, A_{ϵ} (x) = (2 + cos (2 π x / ϵ)^{- 1})

它描述了一维非均匀介质中具有快速振荡系数 $A_{ϵ}$ 的稳态扩散。该方程描述了复合材料中的热传导、多孔介质中的地下水流动以及周期结构中的静电势等现象。参数 $ϵ$ 表示微观周期与宏观长度尺度的比值。当 $ϵ \to 0$ 时，解 $u_{ϵ}$ 收敛于一个满足有效（平均）扩散方程的均质化解。

麦克斯韦方程

1D 简化麦克斯韦方程

\frac{\partial E _{y}}{\partial t} + v \frac{\partial B _{z}}{\partial x} = - J_{y}, \frac{\partial B _{z}}{\partial t} + v \frac{\partial E _{y}}{\partial x} = 0,

这些方程描述了一维电磁波的传播，代表了横电（TE）或横磁（TM）模式的简化。其中， $E_{y}$ 是电场分量， $B_{z}$ 是磁场分量， $v$ 是波速（在真空中通常有 $v = 1/ μ ϵ$ ），而 $J_{y}$ 是电流密度源项。这些方程模拟了诸如同轴电缆中的信号传输、波导以及大气电磁波传播等现象。

随机微分方程

1D Ornstein-Uhlenbeck 过程

d X (t) = a X (t) d t + r d W_{t}

该方程描述了随机过程 $X (t)$ 的动力学。确定性漂移项 $a X (t) d t$ 表示与当前状态 $X (t)$ 成正比的确定性趋势，而随机扩散项 $r d W (t)$ 表示随机波动，其中 $r$ 是缩放噪声强度的波动率系数， $d W (t)$ 是标准维纳过程（布朗运动）的增量。