哈密顿量模拟

概述

unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation 包提供五种近似哈密顿量 $H$ 时演算符 $e^{- i H t}$ 的方法。所有方法接受相同的核心输入（H、t、error），在近似策略、线路深度和精度保证上各有不同。

方法	类	策略
Suzuki-Trotter 乘积公式演化算法	`TrotterAlgorithm`	乘积公式分解
qDrift 算法	`QDriftAlgorithm`	随机乘积公式
泰勒级数哈密顿量模拟	`TaylorAlgorithm`	截断 Taylor 级数
量子信号处理哈密顿量模拟（QSP-HS）	`QSPHSAlgorithm`	量子信号处理多项式
Cartan 分解算法	`CartanDecompositionAlgorithm`	Lie 代数 Cartan–Lax 流

方法选择建议

场景	推荐方法
短时演化、简单哈密顿量	Suzuki-Trotter（一阶或二阶）
随机/概率模拟	qDrift
高精度、中等深度	泰勒级数
稀疏哈密顿量、长时演化	QSP-HS
实对称哈密顿量、精确分解	Cartan 分解

Suzuki-Trotter 乘积公式演化算法

背景

Trotter–Suzuki 乘积公式将 $e^{- i (A + B) t}$ 近似为 $(e^{- i A t / r} e^{- i B t / r})^{r}$ （一阶或更高阶）。该方法实现简单，是工程中最广泛使用的哈密顿量模拟方法。

一阶误差： $O (t^{2} ∥ [A, B] ∥/ r)$ 二阶（Suzuki）： $O (t^{3} / r^{2})$

导入


from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.trotter.algorithm import TrotterAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`H`	`np.ndarray`	—	厄米哈密顿量矩阵（方阵）
`t`	`float`	—	总演化时间
`error`	`float`	—	目标近似误差（为未来自适应实现预留）
`order`	`int`	`1`	Trotter–Suzuki 公式阶数（1 或 2）
`steps`	`int`	`1000`	时间步数 $r$

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.trotter.algorithm import TrotterAlgorithm
 
H = np.array([[2, 1], [1, 3]])
algo = TrotterAlgorithm()
result = algo.run(H=H, t=1.0, error=1e-8, order=1, steps=1000)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.trotter.algorithm import test
test()

qDrift 算法

背景

qDrift 是一种随机乘积公式，按系数量级对 Pauli 项进行采样，并以适当缩放角度应用它们。这产生了一个无偏的随机近似，当样本数 $N$ 增大时收敛到精确演化。

门复杂度： $O (λ^{2} t^{2} / ϵ)$ ，其中 $λ = \sum_{j} ∣ α_{j} ∣$

导入


from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qdrift.algorithm import QDriftAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`H`	`np.ndarray`	—	厄米哈密顿量矩阵
`t`	`float`	—	总演化时间
`error`	`float`	—	目标近似误差（为未来实现预留）
`steps`	`int`	`5000`	随机样本数（越大精度越高）

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qdrift.algorithm import QDriftAlgorithm
 
H = np.array([[2, 1], [1, 3]])
algo = QDriftAlgorithm()
result = algo.run(H=H, t=1.0, error=1e-8, steps=5000)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qdrift.algorithm import test
test()

泰勒级数哈密顿量模拟

背景

Taylor 方法将 $e^{- i H t}$ 展开为截断 Taylor 级数到 $d$ 阶，然后使用酉算符线性组合（LCU）实现每一项。可以用 $d = O (lo g (1/ ϵ) / lo g lo g (1/ ϵ))$ 项达到精度 $ϵ$ 。

导入


from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.taylor.algorithm import TaylorAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`H`	`np.ndarray`	—	厄米哈密顿量矩阵
`t`	`float`	—	总演化时间
`error`	`float`	—	目标近似误差（为未来实现预留）
`degree`	`int`	`15`	Taylor 展开阶数

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.taylor.algorithm import TaylorAlgorithm
 
H = np.array([[2, 1], [1, 3]])
algo = TaylorAlgorithm()
result = algo.run(H=H, t=1.0, error=1e-8, degree=15)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.taylor.algorithm import test
test()

量子信号处理哈密顿量模拟（QSP-HS）

背景

基于 QSP 的哈密顿量模拟构造一个量子线路，通过将 $H$ 的本征值编码为信号并应用一系列受控酉算符和单比特旋转，来近似时演算符 $e^{- i H t}$ 。对于稀疏哈密顿量，QSP 可达到近最优门复杂度。

门复杂度： $O ((∥ H ∥_{m a x} t + lo g (1/ ϵ)) poly (lo g n))$

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from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qsp.algorithm import QSPHSAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`H`	`np.ndarray`	—	厄米哈密顿量矩阵
`t`	`float`	—	总演化时间
`error`	`float`	—	目标近似误差（为未来实现预留）
`degree`	`int`	`15`	QSP 多项式阶数（越大精度越高）
`beta`	`float`	`0.7`	数值稳定性预条件因子（ $0 < β < 1$ ）

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qsp.algorithm import QSPHSAlgorithm
 
H = np.array([[2, 1], [1, 3]])
algo = QSPHSAlgorithm()
result = algo.run(H=H, t=1.0, error=1e-8, degree=15, beta=0.7)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.qsp.algorithm import test
test()

Cartan 分解算法

背景

Cartan–Lax 流算法通过将 Lie 代数 $su (2^{n}) = k \oplus m$ 分解为对称子代数 $k$ 和反对称空间 $m$ ，来分解时演算符。所得线路形式为 $K \cdot e^{- i η} \cdot K^{†}$ 。

要求： $H$ 必须是实对称矩阵。

导入


from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.cartan.algorithm import CartanDecompositionAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`H`	`np.ndarray \| list`	—	实对称哈密顿量
`t`	`float`	—	总演化时间
`error`	`float`	—	非对角分量范数的停止容差
`lr`	`float`	（自动）	Lax 流积分基础步长
`max_steps`	`int`	（自动）	Lax 更新步数上限
`reps`	`int`	（自动）	自适应缩放前的迭代预算

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.cartan.algorithm import CartanDecompositionAlgorithm
 
H = np.array([[2, 1], [1, 2]])
algo = CartanDecompositionAlgorithm()
result = algo.run(H=H, t=1.0, error=1e-3)
print(result['status'])

快速演示


from unitarylab_algorithms.hamiltonian_simulation.cartan.algorithm import test
test()

注意事项

Cartan 方法目前仅支持矩阵形式的哈密顿量，暂不支持 Pauli 字符串输入。
对于病态哈密顿量，减小 lr 并增大 reps 可以改善收敛性。

哈密顿量模拟

概述

方法选择建议

Suzuki-Trotter 乘积公式演化算法

背景

导入

.run() 参数

示例

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qDrift 算法

背景

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.run() 参数

示例

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泰勒级数哈密顿量模拟

背景

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.run() 参数

示例

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量子信号处理哈密顿量模拟（QSP-HS）

背景

导入

.run() 参数

示例

快速演示

Cartan 分解算法

背景

导入

.run() 参数

示例

快速演示

注意事项

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数