线性代数算法

概述

unitarylab_algorithms.linear_algebra 包提供了用于线性代数任务的量子算法，包括量子傅里叶变换、线性方程组求解、信号处理和变分方法。

算法	类	任务
QFT	`QFTAlgorithm`	量子傅里叶变换
HHL	`HHLAlgorithm`	求解线性方程组 $A x = b$
LCU	`LCUAlgorithm`	实现 $M = \sum_{j} α_{j} U_{j}$
QSP	`QSPAlgorithm`	基于 QSP 的多项式变换
QSVT-QLSA	`QSVTLinearSolverAlgorithm`	基于 QSVT 的线性求解器
VQLS	`VQLSAlgorithm`	变分量子线性求解器

量子傅里叶变换（QFT）

背景

量子傅里叶变换是离散傅里叶变换的量子类比，将计算基态 $∣ j ⟩$ 映射为：

$QFT ∣ j ⟩ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} e^{2 π ij k / N} ∣ k ⟩$

QFT 是 Shor 算法、QPE、HHL 及许多其他算法的子程序。本模块同时支持逆 QFT。

导入


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qft.algorithm import QFTAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`n`	`int`	—	量子比特数
`state`	`np.ndarray \| None`	`None`	初始态向量（默认为 `
`inverse`	`bool`	`False`	是否执行逆 QFT

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qft.algorithm import QFTAlgorithm
 
algo = QFTAlgorithm()
result = algo.run(n=4)
print(result['status'])  # 'ok'
 
# 逆 QFT
result_inv = algo.run(n=4, inverse=True)

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qft.algorithm import test
test(n=4)

HHL 线性方程组求解算法

背景

Harrow–Hassidim–Lloyd（HHL）算法求解线性方程组 $A x = b$ ，时间复杂度为 $O (κ^{2} lo g N / ϵ)$ ，其中 $κ$ 是 $A$ 的条件数， $N$ 是矩阵维数。经典最优算法为 $O (N κ)$ 。

算法利用 QPE 将 $A$ 的本征值编码到相位寄存器，然后通过受控旋转计算每个本征值的倒数 $λ^{- 1}$ ，最后反计算相位寄存器。

要求：

$A$ 必须是厄米矩阵
$A$ 的维数必须是 2 的幂次

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.hhl.algorithm import HHLAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	说明
`A`	`np.ndarray`	厄米系数矩阵（维数必须为 $2^{k}$ ）
`b`	`np.ndarray`	右侧向量
`d`	`int`	相位寄存器量子比特数（精度 $\propto 2^{d}$ ）

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.linear_algebra.hhl.algorithm import HHLAlgorithm
 
A = np.array([[0.8, 0], [0, 0.4]])
b = np.array([1, 2])
 
algo = HHLAlgorithm()
result = algo.run(A=A, b=b, d=11)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.hhl.algorithm import test
test(A=[[0.8, 0], [0, 0.4]], b=[1, 2], d=11)

注意事项

较大的 d 可获得更高精度，但会显著增加线路深度。
强烈建议使用条件数较小（条件良好）的矩阵进行实验。

线性酉组合（LCU）算法

背景

LCU 通过将系数 ${α_{j}}$ 编码到辅助”制备”寄存器，并对该寄存器进行条件应用酉算符 ${U_{j}}$ ，来实现非酉算符 $M = \sum_{j} α_{j} U_{j}$ 。LCU 是哈密顿量模拟、QSVT 和块编码的核心原语。

导入


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.lcu.algorithm import LCUAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`alphas`	`List[float]`	—	非负系数列表 ${α_{j}}$
`unitaries`	`List[Circuit]`	—	酉算符线路列表 ${U_{j}}$
`n_sys`	`int`	—	系统寄存器量子比特数
`initial_state`	`Circuit \| None`	`None`	制备系统初始态的线路（可选）

示例


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.lcu.algorithm import LCUAlgorithm
 
# 构造酉线路（如 Pauli 算符），然后与系数一起传入
algo = LCUAlgorithm()
result = algo.run(alphas=[0.6, 0.4], unitaries=[U_I, U_X], n_sys=1)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.lcu.algorithm import test
test(n=1, alphas=[0.6, 0.4], paulis=['I', 'X'])

量子信号处理（QSP）

背景

linear_algebra.qsp 模块实现了 QSP 多项式变换，用于模拟给定本征值 $x$ 下的 $cos (t \cdot x)$ 演化。它是 QSVT 和其他高级算法的子程序。

导入


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsp.algorithm import QSPAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`t`	`float`	—	目标演化时间
`d`	`int`	—	多项式阶数
`x`	`float`	`0.5`	测试本征值（ $x \in [- 1, 1]$ ）

示例


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsp.algorithm import QSPAlgorithm
 
algo = QSPAlgorithm()
result = algo.run(t=1.0, d=10, x=0.5)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsp.algorithm import test
test(t=1.0, d=10, x=0.5)

基于 QSVT 的线性方程组求解算法

背景

量子奇异值变换（QSVT）通过块编码将 QSP 推广到任意矩阵，从而对奇异值进行多项式变换。QSVT 线性求解器利用这一框架对 $A$ 的奇异值实现矩阵逆函数 $x \mapsto 1/ x$ ，以最优查询复杂度求解 $A x = b$ 。

导入


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsvt_qlsa.algorithm import QSVTLinearSolverAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	说明
`A`	`np.ndarray`	系数矩阵
`b`	`np.ndarray`	右侧向量
`epsilon`	`float`	目标近似精度

示例


import numpy as np
from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsvt_qlsa.algorithm import QSVTLinearSolverAlgorithm
 
A = np.array([[0.8, 0.1], [0.1, 0.6]])
b = np.array([1.0, 0.5])
 
algo = QSVTLinearSolverAlgorithm()
result = algo.run(A=A, b=b, epsilon=1e-3)
print(result['status'])

变分量子线性求解器（VQLS）

背景

VQLS 是一种适用于近期量子设备（NISQ）的变分算法，用于求解线性方程组。通过变分拟设参数化解态，最小化基于残差 $∥ A x - b ∥$ 的代价函数。系数矩阵被表达为线性组合 $A = c_{0} A_{0} + c_{1} A_{1} + c_{2} A_{2}$ 。

导入


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.vqls.algorithm import VQLSAlgorithm

`.run()` 参数

参数	类型	默认值	说明
`n_qubits`	`int`	`3`	系统量子比特数
`coefficients`	`List[float] \| None`	`[1.0, 0.2, 0.2]`	系数 $[c_{0}, c_{1}, c_{2}]$
`max_iterations`	`int`	`200`	最大优化迭代次数
`tolerance`	`float`	`1e-6`	收敛容差
`initial_spread`	`float`	`0.5`	初始参数的随机范围

示例


from unitarylab_algorithms.linear_algebra.vqls.algorithm import VQLSAlgorithm
 
algo = VQLSAlgorithm()
result = algo.run(n_qubits=3, coefficients=[1.0, 0.2, 0.2], max_iterations=200)
print(result['status'])

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from unitarylab_algorithms.linear_algebra.vqls.algorithm import test
test(n=3, coefficients=[1.0, 0.2, 0.2], max_iterations=100)

线性代数算法

概述

量子傅里叶变换（QFT）

背景

导入

.run() 参数

示例

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HHL 线性方程组求解算法

背景

导入

.run() 参数

示例

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注意事项

线性酉组合（LCU）算法

背景

导入

.run() 参数

示例

快速演示

量子信号处理（QSP）

背景

导入

.run() 参数

示例

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基于 QSVT 的线性方程组求解算法

背景

导入

.run() 参数

示例

变分量子线性求解器（VQLS）

背景

导入

.run() 参数

示例

快速演示

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数

`.run()` 参数