量子计算与薛定谔化指南

引言：量子计算——超越二进制逻辑的新计算范式

什么是量子计算？

量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算范式。它利用叠加态和纠缠等非经典特性，以全新的方式进行信息处理。传统计算机就像数字开关——每个比特在任何时刻只能是 0 或 1。相比之下，量子计算机更像是调光开关，每个量子比特（qubit）可以同时处于 0 和 1 的叠加态。这一特性使得量子系统能够探索比经典系统大指数级的计算状态空间，从而在某些计算任务中提供指数级并行性的潜力。

• 核心区别：

  • 传统计算机：基于二进制比特（0/1），按顺序或以有限的并行性处理信息。

  • 量子计算机：基于量子比特（qubit），利用叠加和干涉机制处理信息。

量子计算的演进：从”少量量子比特”到百量子比特体积时代

量子计算的发展可以看作是从原型验证到工程化系统的逐步过渡：

• 早期阶段（1990 年代 - 2000 年代）：

  • 量子比特数量：在初始阶段，只能控制极少量的量子比特。例如，1998 年，IBM 演示了一个只有 2 个量子比特的量子计算原型机。

  • 技术挑战：这一阶段面临显著的物理层面挑战。量子比特对环境噪声极其敏感，导致快速退相干，难以维持量子相干性。此外，量子门操作的精度不足，无法运行有意义的量子算法。

  • 阶段特征：主要目标是展示基本的可控性，验证量子力学原理能否应用于信息处理。这一阶段标志着从理论模型到物理实验系统的过渡。

• 中期突破（2010 年代）：

  • 量子比特数量：2016 年，IBM 推出了 5 量子比特可编程量子计算机，而 Google 实现了对 9 个量子比特的高保真度控制。

  • 技术进展：超导量子比特和离子阱等物理平台逐渐成熟。系统稳定性、量子比特连通性和控制精度的提升，使得更多实际实验成为可能。在此期间，量子体积（Quantum Volume） 的概念被提出，作为评估量子处理器有效计算能力的综合指标。

    • 什么是量子体积？ 量子体积不仅考虑量子比特的数量，还考虑门保真度、量子比特连通性和电路深度。这就像评估一辆汽车——不只是看发动机功率，而是看包括操控性和燃油效率在内的整体性能。

  • 阶段特征：可编程验证阶段，处理器可以运行小规模算法，并作为算法设计和原型研究的测试平台。

• 近期飞跃（2020 年代）：

  • 量子比特数量：2023 年，IBM 推出了 133 量子比特的”Heron”处理器，本源量子发布了 72 量子比特的”悟空”芯片。2024 年底，中国发布了”祖冲之三号”，这是一款集成了 182 个耦合量子比特的 105 量子比特超导处理器。该系统成功执行了 83 量子比特、32 层的随机电路采样任务。据估计，最快的经典超级计算机模拟同样的任务需要超过 64 亿年——表明在此特定基准测试中，量子加速约为 10¹⁵ 倍。

  • 技术进展：随着量子比特数量的增加，整体保真度、控制并行性和电路深度能力也在稳步提升。领先的平台现在可以支持执行更深、更复杂的量子电路。

  • 阶段特征：该领域正进入系统级优化和早期实际探索阶段。研究重点正从孤立的物理控制转向系统架构设计、量子工作负载调度和噪声感知编译技术。量子计算机正逐步演变为具有解决特定现实问题潜力的工程化平台。

为什么量子计算很重要？

量子计算可以解决传统计算机无法完成的任务，例如：

• 破解复杂密码：RSA 加密算法可能被量子算法（如 Shor 算法）轻易破解。

• 加速药物研发：模拟分子结构，快速筛选有效药物（如抗癌药物）。

• 优化交通与物流：在数百万条路线中找到最优解，节省时间和能源。

• 加速科学计算与工程应用：在线性代数和偏微分方程求解问题中实现指数级加速。

量子计算基础

量子比特

• 通俗解释：传统比特就像硬币的”正面”或”反面”，只能是 0 或 1；而量子比特就像一枚旋转的硬币，在停下之前同时存在正面和反面的叠加态。

• 物理实现：

  • 超导量子比特（如 IBM、Google）：

    • 原理：利用超导材料在极低温度下（接近 -273°C）的电流回路作为量子比特。

    • 优点：易于集成，适合大规模扩展；缺点：需要复杂的制冷设备。

  • 离子阱量子比特（如 Honeywell）：

    • 原理：使用激光捕获带电原子（离子），通过离子的振动状态编码量子信息。

    • 优点：稳定性高；缺点：操作速度较慢。

  • 光子量子比特（如中国”九章”）：

    • 原理：利用光子的偏振或路径状态表示量子比特。

    • 优点：抗干扰能力强，适合量子通信；缺点：信息存储困难。

量子态

• 通俗解释： 量子态是量子系统的”状态描述”，就像天气预报中的”概率云”，告诉我们粒子可能的状态和位置。例如，氢原子中的电子没有固定的轨道，其量子态描述了电子出现在原子核周围的概率分布。

• 数学表示：

  • $|0⟩$ 和 $|1⟩$：量子比特的基态，分别表示经典的 0 和 1。

  • $|+⟩$ 和 $|-⟩$：量子比特的叠加态。

  $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩),|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$

  • 多个量子比特的基态可以用张量积表示，例如 $|\psi ⟩=|0⟩\otimes |1⟩=|01⟩$。

• 叠加态：

  • 单个量子比特的量子态可以表示为 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，其中 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 是基态，α 和 β 是复数。$|\alpha {|}^2$ 和 $|\beta {|}^2$ 分别表示状态为 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的概率。

  • 多个量子比特的叠加态是基态的线性组合：

  $|\psi ⟩={\sum }_{i=0}^{2^n-1}{\alpha }_i|i⟩={\sum }_{i_0,\cdots ,i_{n-1}=0,1}{\alpha }_{i_0\cdots i_{n-1}}|i_0⟩\cdots |i_{n-1}⟩$

量子逻辑门

在量子计算中，量子比特是信息的基本载体，而量子门就像操纵这些量子比特的神奇”开关”，其数学表示是幺正算子。通过不同量子门的操作，我们可以改变量子比特的状态，实现各种复杂的计算任务。任何作用在 $n$ 个量子比特上的量子门都可以分解为一些基本量子门的组合。下面为您详细介绍几种常见的量子门：

单量子比特门

双量子比特门

三量子比特门

量子测量与密度矩阵

量子测量：从叠加态到确定态

• 坍缩现象： 测量会迫使量子态从叠加态”坍缩”到确定态（$|0⟩$ 或 $|1⟩$）。就像旋转的硬币被手掌拍停一样，量子比特的叠加态在测量时会”选择”一个确定的结果。测量结果的概率由量子态振幅的平方决定。如果量子态为：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，则测得 0 的概率为 $|\alpha {|}^2$，测得 1 的概率为 $|\beta {|}^2$。

• 可观测量：

  量子测量对应于物理实验中的观测，通常用可观测量来表示。通常考虑投影测量，可观测量 $M$ 表示为：

  $M={\sum }_i{\lambda }_i{P}_i,P_i^2=P_i,P_i{P}_j={\delta }_{ij}.$

  其中 $P_i$ 是投影算子，表示将量子态投影到第 $i$ 个基态上，此时将得到测量结果 ${\lambda }_i$。

密度矩阵

纯态与混合态

• 纯态：可以用单一的量子态向量 $|\psi ⟩$ 描述。

• 混合态：系统处于多个纯态的统计混合中，无法用单一的态向量描述。

密度矩阵

密度矩阵是描述量子系统状态的工具，既适用于纯态也适用于混合态。对于纯态 $|\psi ⟩$，其密度矩阵为：

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

对于混合态，密度矩阵为：

$\rho ={\sum }_i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$

其中 $p_i$ 是系统处于状态 $|{\psi }_i⟩$ 的概率。

示例：纯态密度矩阵的推导

• 对于纯态 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$，则：

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(⟨0|+⟨1|)\right)$

展开后得到：

$\rho =\frac{1}{2}(|0⟩⟨0|+|0⟩⟨1|+|1⟩⟨0|+|1⟩⟨1|)$

用矩阵表示为：

$\rho =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

布洛赫球的几何意义

• 北极（$|0⟩$）：表示量子态完全处于 $|0⟩$。

• 南极（$|1⟩$）：表示量子态完全处于 $|1⟩$。

• 球面上的点：表示量子态处于 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的叠加态，例如 $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$。

• 球内部的点：表示混合态，量子态不是纯态，而是多个纯态的统计混合。

布洛赫球的参数化

单个量子比特的纯态可以表示为：

$|\psi ⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{i\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩$

其中：

• $\theta$ 是量子态向量与 z 轴的夹角，称为极角，范围为 $[0,\pi ]$，表示量子态在布洛赫球上的纬度。

• $\varphi$ 是量子态向量在 x-y 平面上的投影与 x 轴的夹角，称为方位角，范围为 $[0,2\pi )$，表示量子态在布洛赫球上的经度。

示例

• 纯态：$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ 对应于布洛赫球上 x 轴方向的点，$\theta =\frac{\pi }{2}$，$\varphi =0$。

• 混合态：$\rho =\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.2\\ 0.2& 0.4\end{array}\right]$ 对应于布洛赫球内部的点。

量子态演化与退相干

量子态演化

量子门操作改变量子态，从而改变其概率分布和密度矩阵。例如，Hadamard 门将 $|0⟩$ 变换为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$，其概率分布从 P(0)=1, P(1)=0 变为 P(0)=0.5, P(1)=0.5。

退相干过程

退相干是指量子系统与环境相互作用后失去相干性，密度矩阵的非对角元素逐渐衰减。退相干会导致量子系统从纯态变为混合态。

退相干的数学描述： 假设初始状态为纯态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，其密度矩阵为：

$\rho =\left[\begin{array}{cc}|\alpha {|}^2& \alpha {\beta }^{\ast }\\ {\alpha }^{\ast }\beta & |\beta {|}^2\end{array}\right]$

在退相干过程中，非对角元素 $\alpha {\beta }^{\ast }$ 和 ${\alpha }^{\ast }\beta$ 逐渐衰减，最终密度矩阵变为：

$\rho =\left[\begin{array}{cc}|\alpha {|}^2& 0\\ 0& |\beta {|}^2\end{array}\right]$

这表明系统从纯态退化为经典的混合态。

薛定谔化：量子模拟的”万能钥匙”

引言： 薛定谔化是一种利用量子模拟求解线性偏微分方程（PDE）的方法。该方法将 PDE 转化为哈密顿系统，使其能够通过量子计算高效求解。我们首先介绍量子力学的基本概念，特别是薛定谔方程的物理意义。

薛定谔方程

波函数与量子态

• 通俗解释： 波函数是量子系统的”概率云”，描述粒子可能的位置和状态。例如，氢原子中的电子没有固定的轨道，其波函数显示了电子出现在原子核周围的概率。

• 数学形式：

  • 含时薛定谔方程：

  $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=\hat{H}|\psi ⟩$

  • $\hat{H}$ 是哈密顿量，它决定了系统如何演化（类似于牛顿定律支配物体的运动）。

  • 定态薛定谔方程：

  $\hat{H}|\psi ⟩=E|\psi ⟩$

  • 用于计算量子系统的稳定能量（如原子能级）。

量子测量与不确定性

• 测量坍缩：测量会破坏量子叠加态。例如，测量处于 $|+⟩$ 态的量子比特会随机得到 0 或 1 的结果。

• 海森堡不确定性原理：

  • 不可能同时精确知道粒子的位置和速度。

  • 数学表达式：$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$

薛定谔化方法基础介绍

作者： Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu

引言：从热传导方程到薛定谔方程的变换

• 薛定谔方程的演化算子 $U$ 为（设 $\hslash =1$）

$|\psi ⟩=U|{\psi }_0⟩=e^{-i\hat{H}t}|{\psi }_0⟩,U^{†}U=I.$

由于哈密顿量 $\hat{H}$ 是厄米算子（${\hat{H}}^{†}=\hat{H}$），因此 $U=e^{-i\hat{H}t}$ 是幺正算子。

• 热传导方程描述温度场的扩散行为，其数学表达式如下：

${\partial }_{t}u-\Delta u=0,u(0,x)=u_0(x)$

原方程无法直接在量子计算机上求解，因为其时间演化算子不是幺正矩阵。为了使其适用于量子计算，我们引入一个新变量 $p$，并定义一个新函数：

$v(t,x,p)=e^{-p}u(t,x),p>0$

经过变换后，方程变为：

${\partial }_{t}v+{\partial }_p{\Delta }_{x}v=0.$

对空间变量进行傅里叶变换，得到：

${\partial }_t\hat{v}-|\xi {|}^2{\partial }_p\hat{v}=0,$

其中 $\xi$ 表示对应于 $x$ 的傅里叶对偶变量。这是一个在 $p$ 方向上向左传播的对流方程。在右半平面 $p>0$ 中，方程的解仅与右半平面的初始值有关。因此，我们可以任意设置 $p<0$ 部分 $v(0,x,p)$ 中引入的初始值，例如 $v(0,x,p)=e^{-|p|}u(0,x),p<0.$

通过关于变量 $p$ 的傅里叶变换，我们得到：

${\partial }_t\hat{v}-i\eta {\Delta }_x\hat{v}=0,$

其中 $\eta$ 表示对应于 $p$ 的傅里叶对偶变量。至此，我们得到了一个薛定谔形式的方程，其演化算子为 $U=e^{i\hat{H}t},\hat{H}=\eta {\Delta }_x.$

线性微分方程的薛定谔化方法（qubits）

• 在线性常微分方程系统中，考虑常见形式：

$\frac{du}{dt}=Au(t),$

其中 $A$ 是一个矩阵。为了适应量子计算，我们将 $A$ 分解为厄米和反厄米部分：

$A=H_1+i{H}_2,H_1=\frac{A+A^{†}}{2},H_2=\frac{A-A^{†}}{2i}.$

然后通过扭曲相位变换

$v(t,x,p)=e^{-p}u(t,x),p>0,$

${\partial }_{t}v=-H_1{\partial }_{p}v+i{H}_{2}v,$

和傅里叶变换，

$\hat{v}(t,x,\eta )={\mathcal{F}}_p\{v(t,x,p)\}={\int }_{-\infty }^{\infty }v(t,x,p)e^{i\eta p}dp,$

${\partial }_t\hat{v}=i\eta H_1\hat{v}+i{H}_2\hat{v}\triangleq i\hat{H}\hat{v},$

将此 ODE 转化为哈密顿系统，其演化算子为 $U=e^{i\hat{H}t},\hat{H}=\eta H_1+H_2.$ 从而可以直接通过量子计算机进行模拟。

• 将变量 $p$ 离散化为网格，计算域 $\Omega$ 和网格大小 $\Delta p$ 定义如下：

$\Omega =[-\pi R,\pi R],\Delta p=\frac{2\pi R}{N_p},N_p=2^{n_p}.$

引入变量 $p$ 后的初始值定义为：

$v(0,x,p)=g(p)u(0,x),g(p)=\{\begin{array}{rl}& f(p),p\le 0,\\ & e^{-p},p>0,\end{array}$

其中 $f(0)=1,f(p)\in L^2((-\infty ,0))$。$g(p)$ 可以在两个条件下选择：当 $p$ 趋向 $-\infty$ 时会迅速衰减，并且具有较好的光滑性。例如，可以选择：

$g(p)=\{\begin{array}{rl}& e^p,p\in (-\infty ,-1),\\ & {\mathcal{P}}_{2k+1},p\in [-1,0],\\ & e^{-p},p\in (0,+\infty ),\end{array}$

其中 ${\mathcal{P}}_{2k+1}$ 是 Hermite 插值，且满足：

这里 $0\le k^{\prime }\le k$ 为整数。离散化后的初始值为：

$\mathbf{v}(0)=\mathbf{g}\otimes \mathbf{u}(0):=[g(p_0),\cdots ,g(p_{M-1}){]}^T\otimes \mathbf{u}(0).$

离散化后的方程转化为：

$\frac{d}{dt}{\hat{\mathbf{v}}}_{DV}=i(D\otimes H_1+I_{N_p}\otimes H_2){\hat{\mathbf{v}}}_{DV}=i{H}_{DV}{\hat{\mathbf{v}}}_{DV}.$

原方程被转化为哈密顿模拟问题，其演化算子为 $U_{DV}=e^{i{H}_{DV}t}$。

• 对于线性偏微分方程，我们可以先将其在空间上离散化为常微分方程。当方程具有不同的边界条件或源项时，我们得到以下非齐次常微分方程：

$\frac{du}{dt}=Au(t)+b.$

引入一个新变量：

$w\equiv 1,\tilde{u}=[u;w],\tilde{A}=[A,B],B=\text{diag}(b),$

原方程转化为：

$\frac{d\tilde{u}}{dt}=\tilde{A}\tilde{u}(t).$

然后使用上述薛定谔化方法进行量子模拟。

复杂度讨论

• 量子计算在 PDE 求解中的优势

  • 指数加速：与经典计算相比，量子算法的计算复杂度可降至 对数级别。

  • 哈密顿模拟方法：利用 Trotter-Suzuki 分裂法 或 量子奇异值变换（QSVT） 和 量子傅里叶变换 进行时间演化计算。

• 复杂度估计： 假设 目标是计算 PDE 的时间演化，复杂度估计如下：

  $\mathcal{O}\left(\frac{\Vert \mathbf{u}(0)\Vert }{\Vert \mathbf{u}(t)\Vert }s{\Vert A\Vert }_{\max }|t|{\delta }^{-\frac{3}{2(k+1)}}\right)$

连续变量的薛定谔化方法（qumodes）

薛定谔化方法自然地适用于连续变量的情况。Qumodes 对应于 qubits，其中解 $u(t,x)$ 被编码为连续变量量子态：

$|u(t)⟩\propto \int u(t,x)|x⟩,$

其中 $|x⟩,x\in {\mathbb{R}}^d$ 是无限维希尔伯特空间中的正交基。当 $x$ 表示波函数 $u(x,t)$ 的位置时，对应的算子是 $\hat{x}$，共轭算子是动量算子 $\hat{p}$，满足：

$\hat{x}|x⟩=x|x⟩,\hat{p}=-i\partial /\partial x,[\hat{x},\hat{p}]=iI$

其中 $I$ 是恒等算子。此时，例如热传导方程的演化算子 $\exp (-At)$ 可以编码为以下幺正算子：

$U_{CV}(t)=\exp (-i{\hat{p}}^2\otimes \hat{\eta }t),$

此时 $\hat{\eta }$ 可以选择任何单模算子，例如 $\hat{\eta }=\hat{x}$。在这种情况下，不需要对系统中的任何变量进行离散化。该方法直接处理偏微分方程的连续性质，不依赖于离散化方案的细节，从而能够更准确地模拟偏微分方程。

在之前求解偏微分方程时，将微分算子 $A$ 离散化后，可以用有限维矩阵表示。在没有离散化方案的情况下，可以保留微分算子的连续性质，此时 $A=H_1+i{H}_2$ 作用在 qumodes 上而非 qubits 上，其中 $H_1,H_2$ 也是作用在 qumodes 上的厄米算子。此时，$\exp (-At)$ 可以嵌入到以下幺正算子中：

$U_{CV}(t)=\exp (-i(H_1\otimes \hat{\eta }+H_2\otimes I)t).$

在连续变量的情况下，没有稀疏访问或块访问方法可以直接处理无限维算子 $A$（其范数是无限的），因此数字量子模拟算法不能直接应用。在这种情况下，更合适的是考虑 模拟量子模拟，即通过自然实现适当幺正操作的算子来构建量子门，而不是使用原始门。例如，如果可以访问 $U_1(t)=\exp (-i{H}_1\otimes \hat{\eta }t)$ 和 $U_2(t)=\exp (-i{H}_2\otimes It)$，且 $[H_1,H_2]=0$，那么只需要实现 $U_1(t)U_2(t)$ 即可。这种情况适用于 $H_1$ 和 $H_2$ 都只作用于 $\hat{x}$（如 ODE 问题）或只作用于 $\hat{p}$（如仅具有常系数的齐次偏微分方程问题）。更复杂的情况可以根据具体问题具体分析。

半经典薛定谔方程的量子算法

作者： Shi Jin, Xiantao Li, Nana Liu

在半经典区域，由于 $\hslash$ 很小，系统中存在显著的多尺度现象，传统的数值方法需要极细的网格来捕捉快速振荡的特征。下面详细介绍如何在这种情况下使用量子算法求解薛定谔方程。

薛定谔方程的半经典形式

• 在半经典区域，薛定谔方程写为：

$i\frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩,H=-\frac{{\hslash }^2}{2}\Delta +{\hslash }^{-1}V(x)$

空间离散化与伪谱方法

• 空间离散化：

  设空间域为 $[0,L]$，均匀网格为：

  $\Delta x=\frac{L}{M},x_j=j\Delta x,j=0,1,\dots ,M-1$

• 伪谱方法：

  使用傅里叶级数展开求解空间导数，拉普拉斯算子可以通过快速傅里叶变换（FFT）高效计算。

时间演化：Strang 分裂法

• Strang 分裂步骤

  为求解时间演化问题，使用分裂法将整体演化算子分解为动能和势能部分。其近似公式为：

  $|{\psi }_{n+1}⟩\approx U_K\left(\frac{\Delta t}{2}\right)U_V(\Delta t)U_K\left(\frac{\Delta t}{2}\right)|{\psi }_n⟩$

• 势能算子：

$U_V(\Delta t)=\exp \left(-i\frac{\Delta t}{\hslash }V(x)\right)$

• 动能算子：

$U_K(\Delta t)=\exp \left(i\frac{\Delta t\hslash \Delta }{2}\right)$

复杂度估计与资源分析

当解具有 $\ell$ 阶连续导数时，量子门复杂度估计为：

$O((\epsilon \hslash {)}^{-1/2}\mathrm{polylog}((\epsilon \hslash {)}^{-3/(2\ell )}{\hslash }^{-1-1/\ell }\left)\right)$

此外，如果仅考虑物理可观测量，时间步长可以独立于 $\hslash$ 选择，进一步降低整体复杂度。

非线性偏微分方程的量子算法

作者： Shi Jin, Nana Liu

对于非线性偏微分方程，传统方法通常需要近似线性化，这可能会引入显著误差。该方案使用水平集方法将非线性 PDE 精确映射到线性 PDE，然后结合薛定谔化方法实现量子模拟，从而保留原问题的非线性特征。

水平集方法映射

• 映射原理： 使用水平集方法，将非线性 PDE 的解表示为隐式曲面，从而将非线性问题转化为线性问题，无需低阶近似。

• Hamilton-Jacobi 方程：

${\partial }_{t}u+H(\nabla u,x)=0,$

定义水平集函数 $\varphi (t,x,p)$ 如下：

$\varphi (t,x,p=u(t,x))=0,$

$\varphi$ 满足以下 线性 Liouville 方程：

${\partial }_t\varphi +{\nabla }_{p}H\cdot {\nabla }_x\varphi -{\nabla }_{x}H\cdot {\nabla }_p\varphi =0.$

• 非线性标量一阶双曲方程：

${\partial }_{t}u+F(u)\cdot {\nabla }_{x}u+Q(x,u)=0$

定义水平集函数 $\varphi (t,x,p)$ 如下：

$\varphi (t,x,p=u(t,x))=0,$

$\varphi$ 满足以下方程：

${\partial }_t\varphi +F(p)\cdot {\nabla }_x\varphi -Q(x,p){\partial }_p\varphi =0.$

• 薛定谔化： 引入辅助变量将映射后的线性 PDE 转化为薛定谔方程。

量子算法构建与复杂度分析

• 量子算法： 在变换后的薛定谔系统上构建量子算法，实现物理可观测量的高效计算。

• 复杂度优势： 证明了当初始数据量 $M$ 很大时，量子资源（门数、量子比特数）的消耗与 $M$ 无关，甚至可以实现指数加速。

带人工边界条件的量子动力学模拟

作者： Shi Jin, Nana Liu, Xiantao Li, Yue Yu

在实际模拟量子动力学问题时，为防止系统信息泄漏，需要在有限计算域内引入人工边界条件（ABC）。然而，ABC 会破坏系统的幺正性，使得传统量子模拟方法难以直接应用。该方案通过薛定谔化方法将非幺正演化转化为薛定谔方程的形式，从而恢复幺正性。

数学建模

假设量子波函数 $\psi (x,t)$ 满足以下薛定谔方程：

$i\frac{\partial \psi }{\partial t}=H\psi$

其中哈密顿算子 $H$ 包括 动能和势能项：

$H=-\frac{1}{2}\Delta +V(x)$

如果计算域为 $[0,L]$，在边界 $x=L$ 处设置人工边界条件：

$\psi (L,t)=\alpha \psi (L-\Delta x,t)+\beta \frac{\partial \psi }{\partial x}{|}_{x=L}$

其中：

• $\alpha$ 和 $\beta$ 是调整参数，用于模拟开放系统的边界条件。

• 薛定谔化： 引入辅助变量将映射后的线性 PDE 转化为薛定谔方程。

数值验证与复杂度分析

• 复杂度分析：

哈密顿模拟的复杂度为：

$\mathcal{O}\left(s{\Vert H\Vert }_{\max ,1}\frac{\log (s{\Vert H\Vert }_{\max ,1}/\epsilon )}{\log \log (s{\Vert H\Vert }_{\max ,1}/\epsilon )}\right),{\Vert H\Vert }_{\max ,1}={\int }_0^T{\Vert H\Vert }_{\max }(t)dt.$

• 数值验证： 通过仿真实验验证了该方法在处理人工边界条件时能够保持系统稳定性并实现高精度求解。

离散线性动力系统与迭代方法的量子模拟

作者： Shi Jin, Nana Liu

离散线性动力系统和迭代方法在数值计算和工程应用中被广泛使用。经典迭代方法通常需要多次矩阵运算，计算成本高，而量子计算通过薛定谔化技术可以有效模拟离散系统的连续极限，并应用于求解线性方程和特征值估计问题。

迭代方法的连续化

• 连续 ODE 表示： 例如，一般线性问题的迭代方法可以表示为：

$y_{k+1}=G{y}_k+g,y_{k+1}-y_k=(G-I)y_k+g$

可以写成连续时间形式：

$\frac{dy(t)}{dt}=(G-I)y+g$

• 薛定谔化： 在变换后的常微分方程中引入辅助变量，进一步转化为薛定谔方程。

量子模拟与复杂度分析

• 量子算法实现： 利用连续时间量子模拟技术替代经典迭代中的矩阵乘法过程，实现更高效的迭代求解。

• 复杂度讨论： 分析了算法在迭代收敛性和量子资源方面的优势，证明在某些问题中可以比经典方法实现更低的复杂度。

多尺度偏微分方程的量子算法

作者： Junpeng Hu, Shi Jin, Lei Zhang

多尺度偏微分方程（PDE）广泛应用于物理、工程和其他科学领域。这些方程因包含多个时空尺度而对数值求解构成重大挑战。经典方法需要使用极细的网格和时间步长来适应多尺度特性，但这导致计算成本高，尤其是在高维问题中。量子计算为多尺度 PDE 提供了新的解决方案，在某些情况下可以显著降低计算复杂度。

多尺度椭圆方程

椭圆型多尺度 PDE 主要出现在复合材料中的传导问题和渗流问题等领域。我们考虑以下二阶椭圆方程：

$-\nabla \cdot (A(x)\nabla u(x))=f(x),x\in D,u(x)=0,x\in \partial D.$

其中系数矩阵 $A(x)$ 具有高振荡性，可能包含多个尺度。

• 双尺度均匀化模型

对于双尺度情况，假设系数矩阵具有以下结构：

$A(x):=A(x,x/\epsilon ),$

其中 $\epsilon$ 是小尺度参数。使用均匀化方法，我们可以构建均匀化方程，其解 $u_0(x)$ 逼近原方程的解：

• 多尺度均匀化模型

• 薛定谔化： 首先用常微分方程近似线性代数系统，然后引入辅助变量，将其转化为薛定谔方程。

多尺度抛物方程与波动方程

考虑以下多尺度热传导方程：

$\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot (A(x/\epsilon )\nabla u)=f(x,t),$

其中 $A(x/\epsilon )$ 具有快速振荡的特性。

• 双尺度均匀化模型

• 薛定谔化：首先对有限元方法的方程进行时间离散化，然后转化为常微分方程并应用薛定谔化方法。

• 波动方程：首先将其转化为一阶方程，然后按与抛物方程相同的方式处理。

计算复杂度分析

• 经典数值方法的计算复杂度通常为 $O(N^d)$，其中 $N$ 是网格点数，$d$ 是维度。

• 量子计算方法的计算复杂度可降至：$O(\text{polylog}(N))$。

麦克斯韦方程的量子模拟

作者： Shi Jin, Nana Liu, Chuwen Ma

麦克斯韦方程描述了电磁场的时空演化。传统的数值方法（如 Yee 算法）可以在离散化过程中很好地保持物理性质，但在量子计算中需要转化为薛定谔方程的形式以适应量子模拟框架。

麦克斯韦方程的基本形式

• 公式：

处理边界条件和界面问题

• 边界条件引入： 物理边界条件（如完美导体和阻抗边界）要求电场和磁场满足特定的约束。在传统数值方法中，这些条件通过特定的离散化方案来保持，但在量子模拟中需要进行适当的变换。

• 幺正变换与辅助变量： 通过引入辅助变量和幺正变换，将非齐次边界条件转化为齐次条件。

薛定谔化变换与数值实现

• 转换步骤： 使用扭曲相位变换将麦克斯韦方程转化为高维薛定谔系统，然后结合 Trotter 分裂法和傅里叶变换实现时间演化。

• 数值验证： 通过数值实验验证了该方法在保持磁场无散度和能量守恒方面的有效性，同时也讨论了量子门复杂度和量子比特资源的需求。

更多应用案例

该方法不仅适用于热传导方程和对流方程，还可以应用于更复杂的数学模型，例如：

• Black-Scholes 方程（金融市场建模）

• Fokker-Planck 方程（随机过程）

• 线性 Boltzmann 方程（粒子输运）

• Vlasov-Fokker-Planck 方程（等离子体动力学）

• Hamilton-Jacobi 方程（非线性动力系统）

量子计算术语表

参考文献

• Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu.(2022).Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation: technical details 

• IBM Quantum. (2023). What is quantum computing?

• Shi Jin, Nana Liu, Chuwen Ma.(2023).Quantum simulation of Maxwell’s equations via Schrödingersation 

• Junpeng Hu, Shi Jin, Lei Zhang.(2023).Quantum Algorithms for Multiscale Partial Differential Equations 

• Shi Jin, Nana Liu.(2023).Quantum simulation of discrete linear dynamical systems and simple iterative methods in linear algebra via Schrodingerisation 

• Shi Jin, Nana Liu, Xiantao Li, Yue Yu.(2023).Quantum Simulation for Quantum Dynamics with Artificial Boundary Conditions 

• Shi Jin, Nana Liu.(2022).Quantum algorithms for computing observables of nonlinear partial differential equations 

• Shi Jin, Xiantao Li, Nana Liu, Yue Yu.(2023).Quantum Simulation for Partial Differential Equations with Physical Boundary or Interface Conditions 

• Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu.(2023).Quantum simulation of partial differential equations: Applications and detailed analysis 

• Shi Jin, Xiantao Li, Nana Liu.(2022).On quantum algorithms for the Schrödinger equation in the semi-classical regime